Faglig innhold

Dette emnet gir de matematiske grunnlagene for analyse av uendelig-dimensjonale systemer, med anvendelser innen operatorteori, kvantemekanikk og kvanteinformasjon. Fokus ligger på sentrale verktøy i funksjonalanalyse - dualitet, svake topologier, kompakte operatorer og grunnleggende teoremer om begrensede lineære operatører - som danner basis for videre studier av C*-algebraer, von Neumann-algebraer, kvantetilstander og fullstendig positive avbildninger.

Læringsutbytte

1. Kunnskap

Studenten har inngående kunnskap om sentrale resultater og begreper i funksjonalanalyse, blant annet:

• Hahn-Banach-teoremet
• Teoremene om åpen avbildning og lukket graf
• Banach-Steinhaus-teoremet (Uniformt begrensningsprinsipp)
• Dualrom og svak/svak*-konvergens
• Banach-Alaoglu-teoremet og kompaktitet i dualrom
• Spektralteoremet for kompakte selvadjungerte operatorer

Studenten forstår hvordan disse resultatene utgjør det grunnleggende rammeverket for operatoralgebraer og de matematiske fundamentene for kvanteteori og kvanteinformasjon.

2. Ferdigheter

Studenten kan:

• anvende grunnleggende teoremer fra funksjonalanalyse for å løse matematiske problemer som involverer lineære operatører på uendelig-dimensjonale rom,
• bruke dualitet, svak konvergens og teori for kompakte operatorer i studiet av operatoralgebraer og kvantetilstander,
• analysere strukturen til begrensede lineære operatører slik de opptrer i kvantemekanikk og kvanteinformasjon(f.eks. tetthetsoperatorer, målinger, kompakte approksimasjoner og spektraloppdelinger).

Læringsformer og aktiviteter

Forelesninger, øvinger og skriftlig avsluttende eksamen.

Anbefalte forkunnskaper

Emnene TMA4145 Lineære metoder og TMA4225 Analysens grunnlag.

Kursmateriell

Oppgis ved semesterstart.

Studiepoengreduksjon