Faglig innhold

Sentrale begreper og resultater fra moderne harmonisk analyse og tid-frekvensanalyse, herunder ulike videreutviklinger av fourieranalysen. Innholdet kan variere fra år til år, og aktuelle temaer inkluderer:

• Moderne harmonisk analyse: Maksimalfunksjoner, Calderón-Zygmund-dekomposisjoner, Hilbert-transformen. Littlewood-Paley-teori, Hardy-rom, Carleson-mål, Cauchy-integraler og singulære integraloperatorer. Sannsynlighetsteoretiske teknikker i harmonisk analyse, Fourier-restriksjoner.
• Generalisering av klassisk fourieranalyse til lokalkompakte abelske grupper: Haarmål, konvolusjon, duale grupper og fouriertransformen, positiv-definitte funksjoner, inversjonsteoremet, Plancherels teorem, Pontryaginsdualitetsteorem, Bohr-kompaktifisering.
• Tid-frekvensanalyse og frame-teori: Frames og Riesz-basiser i Hilbertrom, Hilbertrom med reproduserende kjerne. Wavelet-transformasjon, short-timefouriertransformasjon, wavelet- og Gabor-frames. Lokaliseringsoperatorer i tid-frekvensrom, usikkerhetsprinsipper og spektrale egenskaper. Introduksjon til kvanteharmonisk analyse.

Læringsutbytte

(1) Kunnskap: Studenten har inngående kunnskap om sentrale begreper og metoder innen moderne harmonisk analyse og tid-frekvensanalyse.

(2) Ferdigheter: Studenten kan anvende metoder fra moderne harmonisk analyse og tid-frekvensanalyse på tilhørende områder innen matematikken. Dette innebærer å sette det de lærer i kontekst av både kjent og ny matematisk teori, samt å finne fram til relevant litteratur.

(3) Kompetanse: Studenten kan delta i vitenskapelige diskusjoner, presentere resultater og komme i gang med forskning på internasjonalt nivå i moderne og klassisk harmonisk analyse og tid-frekvensanalyse.

Læringsformer og aktiviteter

Emnet foreleses ved behov, og gis som ledet selvstudium hvis det er få PhD-studenter i emnet.

Studenten deltar aktivt i undervisningen i form av muntlige presentasjoner av pensum gjennom semesteret.

Kursmateriell

Oppgis ved semesterstart.