Redaktør:
Tore Oksholen
 

Teknisk ansvarlig: 
Kenneth Aar

En matematisk teori om knuter, som knuter på et tau? Dette var temaet under årets Onsagerforelesning. 

I sin forelesning forklarte professor Vaughan Jones hvordan denne forbindelsen er. Jones tok utgangspunkt i Ising-modellen som er en modell for faseoverganger (med faseoverganger menes overganger mellom f.eks. is og vann, og mellom vann og (vann)damp) og for spontan magnetisering, forklarer professor Helge Holden ved Institutt for matematiske fag. Professor Holden er vår hjemmelsmann i dette for oss utilgjengelige terrenget.

- Onsager revolusjonerte studiet av denne modellen da han i 1942 annonserte at han kunne bevise at Ising-modellen i to dimensjoner hadde en faseovergang og bestemme temperaturen for denne, forklarer Holden.

Moden for magnetisering

- La oss kort prøve å forklare Ising-modellen som kanskje er lettest å forstå som en modell for magnetisering. Anta vi har en jernstav, og at atomene i den er plassert i et regulært kvadratisk gitter. Hvert atom bærer et lite magnetisk moment, for enkelthets skyld som kan ta to verdier, kalt 1 og -1. Bare de nærmeste atomene påvirker hverandre. Dersom nesten alle atomenes magnetiske moment peker i samme retning, blir jernstaven magnetisk, eller vil atomenes moment nulle hverandre ut, og vi får ingen global effekt. Onsager viste at når temperaturen endres, vil vi få en overgang fra uorden (og ingen magnet) til orden (og magnet) og han kunne bestemme temperaturen der dette inntreffer.

Onsagers løsning ga støtet til en omfattende aktivitet på slike «løsbare modeller», og resultatene har hatt store konsekvenser både i fysikk og matematikk.

- Sentralt i dette studiet står en «stjerne-trekant relasjon», og Jones viste hvordan man kan knytte en forbindelse mellom denne relasjonen og knuteteori. Matematiske knuter er omtrent som vanlige knuter: Med en matematisk knute mener vi en lukket kurve (som svarer til tauet) i rommet. Så når du har laget din båtsmannsknop, må du knytte endene sammen for å få en matematisk knute. Sentrale problemer er: hvor mange forskjellige knuter fins det, og gitt to knuter, vilkårlig vanskelige, hvordan kan du avgjøre om de er like eller forskjellige? Knuteteori oppstod faktisk som en forsøk på å forstå stoffenes oppbygning på en tid før atomteorien var etablert, og hvor man prøvde å forstå stoffenes egenskaper under forutsetning av at de var bygget opp av stadig mer kompliserte knuter.

Ringen sluttet

Teorien er fysisk sett gal, sier Holden:

- Men den ga opphav til en interessant matematisk teori. Med utviklingen av moderne streng-teori, der naturen blir beskrevet som bygget opp av små strenger, er kanskje ringen sluttet, og man er tilbake til at strenger eller knuter er fundamentale byggesteiner i naturen. Jones har oppdager nye måter å kunne karakterisere knuter på og hvordan man kan finne ut om de er identiske eller ikke, sier professor Helge Holden.

Prof. Vaughan Jones fra University of California i Berkeley var årets Onsager-foreleser.

Hvert år inviteres en prominent forsker til NTNU for å holde Onsager-forelesningen, oppkalt etter Lars Onsager (1903-1976, siv.ing. NTH 1925, Nobel-prisen i kjemi 1968). Vaughan Jones mottok i 1990 Fields-medaljen, som er den høyeste utmerkelsen i matematikk, for sin forskning som på en spektakulær måte knytter sammen teori for knuter, von Neumann algebraer og statistisk mekanikk.