Fysikkanimasjoner

– animasjoner for bruk i fysikkundervisningen i videregående skole

 

Institutt for fysikk, NTNU ved Jonas Persson har utviklet et sett med animasjoner knyttet til tema i fysikkfaget. Animasjonene er først og fremst laget for undervisning ved NTNU, men er også egnet for elever i den videregående skolen. De ulike animasjonene som presenteres her kan brukes som uavhengige illustrasjoner av fysiske fenomen, men er laget for å inngå i ulike undervisningsopplegg som et tillegg til læreboken. Animasjonene og simuleringene kan brueks vederlagsfritt.

Førsteamanuensis Jonas Persson ved Institutt for fysikk, NTNU har tatt initiativet til prosjektet og utviklet og kvalitetssikret samtlige animasjoner. Det finnes flere anomasjoner på Davidson College WebPhysics sin server. 

Prosjektet er finansiert av bl.a. Norgesuniversitetet. Nettstedet er tilrettelagt av Roy Even Aune som også har oversatt de fleste animasjonene. Kapittel 7 og 8 er oversatt av dosent Nils Kr. Rossing ved Skolelaboratoriet.

 

0.0 Innføring i physlets (under utvikling)

0.1 Prinsipp og grunnleggende funksjoner

Animasjon 0.1. Anvendelse av physlets

Vi starter ved å gå gjennom de grunnleggende funksjonene i en physlet. Formålet med en physlet er å vise et fenomen og besvare spørsmål omkring dette fenomenet. I noen tilfeller kommer du til å bruke animasjonen til å samle inn data for å besvare spørsmål, men oftest er poenget med animasjonen å observere et fenomen eller hendelse og se hva som skjer.

Animasjonene ligner i mange tilfeller illustrasjonene i læreboken, men forskjellen er at man i animasjonen dynamisk kan se hva som skjer.

Vi tar et eksempel fra Newtons Principia, der han viser banene til kanonkuler som skytes ut fra toppen av et fjell. Kulene skytes ut med ulik fart. Til venstre nedenfor er Newtons illustrasjon, hvor vi får et statisk bilde av hvordan banene til de forskjellige kanonkulene ser ut og hvor kulene lander, men må tenke oss hvordan det hele går for seg.

Bilde fra Isaac Newtons Principia (1687)
Bilde fra Isaac Newtons Principia (1687).

Til høyre ovenfor ser vi som en kontrast til det statiske bildet en dynamisk animasjon. Her lar vi 5 kuler bli skutt ut fra toppen av fjellet, fortsatt med ulik fart. Startposisjonen er fortsatt lik for alle kulene. Etter at animasjonen har blitt lastet inn av nettleseren din kan du styre animasjonen v.h.a. knappene under animasjonsvinduet:

  • spill av: starter animasjonen.
  • pause: pauser animasjonen. Trykk spill av for å fortsette.
  • <<skritt tilbake: går ett skritt tilbake i animasjonen.
  • skritt fram>>: går ett skritt fram i animasjonen.
  • tilbakestill animasjon: tilbakestiller animasjonen til initialverdiene (spill av starter animasjonen)

Hver animasjon er forskjellig, og hvilke knapper som finnes vil variere fra animasjon til animasjon. I tillegg til knappene vil det ofte være lenker hvor du kan velge mellom forskjellige animasjoner, og i mange tilfeller finnes det også en knapp eller lenke med teksten "Last animasjon på nytt". Denne tilbakestiller hele den dynamiske delen av siden til initialverdiene, noe som kan være nyttig dersom noe går galt under animasjonen.

Det er viktig at du er helt klar over hva disse kommandoene gjør og hvordan du bruker dem. Er du i tvil så eksperimenter for å finne ut hva en knapp gjør.

Hva er forskjellene mellom Newtons illustrasjon og animasjonen?

En forskjell er at du kan se selve bevegelsen og se forskjellen mellom kulenes forskjellige baner. Her har jeg valgt å la alle kulene fullføre banene sine, selv de kulene som i virkeligheten lander på bakken. Dette er for at man lettere skal kunne sammenligne banene.

Sporene (fantombildene) av kulene markeres med samme tidsintervall, og dette kan brukes som et hjelpemiddel til å "lese" bevegelsen. Ser du at kulene utenfor den røde beveger seg langsommere ved bunnen av banen mens den blå beveger seg raskere? Dessuten er det bare den røde kulen som følger en sirkulær bane. Dette er ikke åpenbart fra Newtons illustrasjon, men det vises tydelig i animasjonen.

Oppgave til refleksjon

Tilbakestill animasjonen og spill den av. Hva kan du observere ved å studere kulenes bevegelse? Er farten den samme hos de ulike kulene under hele bevegelsen?

0.2 Presentasjon av data i animasjoner

Animasjon 0.2 Å få ut data fra animasjoner

For å kunne regne på det fenomenene i animasjonene, må vi kunne hente ut tallmateriale fra animasjonen. Det finnes flere måter å å presentere data fra en animasjon på, og ulike presentasjonsmåter blir brukt i ulike situasjoner, alt etter hva man vil fokusere på. Her er noen måter animasjonene vil presentere data på:

  • Numerisk verdi av data hentet fra animasjonen. "Målingen" skjer under selve simuleringen. Hvis du klikker med venste museknapp i animasjonsvinduet, vil du i venstre hjørne av animasjonen kunne lese av koordinatene til stedet der du klikket. Prøv det i koordinatsystemet nedenfor!
  • Datatabell der verdiene presenteres i øyeblikket eller en tabell som fylles ut i løpet av i animasjonen. I animasjon 1 nedenfor vil du i det nederste animasjonsvinduet se en tabell som inneholder den nåværende tiden og ballens posisjon. Tabellen oppdateres ofte, og den gamle verdien blir overskrevet. I Animasjon 0.3 kan du se en tabell som fylles ut under animasjonen og hvor verdiene ikke blir overskrevet.
  • Grafer der man får med historien og får et oversiktlig bilde av forløpet. Det er mulig å høyreklikke på en graf for å få en kopi som er mulig å forstørre på skjermen. Ved å venstreklikke i en graf kan du lese av koordinatene til musepekeren. Prøv det i animasjonen nedenfor!
  • Piler som viser en vektorstørrelse (størrelser med både verdi og retning). Dette er spesielt anvendelig når man arbeider med krefter. Eksempler på vektorer finner du i kapittel 2, kinematikk i to dimensjoner.
  • Fantombilder der animasjonen markerer posisjonen med jevne mellomrom. Dette gjør det enklere å få et mentalt bilde av hendelsesforløpet. Et eksempel på dette finner du i det øverste vinduet i animasjonen nedenfor.

 

Last animasjon på nytt

Legg merke til at denne animasjonen viser et bilde av en kontinuerlig bevegelse der ballen har en fart før animasjonen starter og fortsetter å ha den farten etter at animasjonen stopper.

Oppgave til ettertanke

Animasjon 1 viser posisjonen og tiden (i meter og sekunder) og Animasjon 2 viser farten og tiden (i meter/sekund og sekunder). Hvilken presentasjon synes du er best i dette tilfellet?

0.3 Bestemmelse av posisjon i animasjoner

Animasjon 0.3 Bestemmelse av posisjon

 

 

Last animasjonen på nytt.

Du skal her måle posisjonen til figuren i animasjonen og angi posisjonen som funksjon av tiden. Du kan bruke skritt-funksjonaliteten i animasjonen for å komme fram og/eller tilbake til gunstige tidspunkter for å gjøre en måling. Posisjonen du leser av ved å venstreklikke er gitt i meter og tiden i sekunder.

Tips: Bruk følgende framgangsmåte:

  1. Pause animasjonen ved t = 0 s (skritt tilbake om nødvendig).
  2. Hold nede venstre museknapp og dra markøren over figuren i animasjonen. Les av posisjonen.
  3. Skritt fram for eksempel til 2 s og bestem posisjonen.
  4. Gjenta dette med høvelige intervall.

Etter at du har gjort dine egne målinger kan du klikke her fulgt av spill av for å fylle tabellen med "riktige" verdier. Sammenlign disse med dine egne verdier. Stemmer dine resultat med de "riktige"?

0.4 Endring av startverdier

Animasjon 0.4 Endring av initialverdier

 

y0 =  [meter]

Last animasjon på nytt.

Denne øvingen er en fortsettelse av animasjon 1, der vi skjøt ut 5 kuler fra et fjell. Nå skal vi endre verdien på høyden som de blir skutt ut fra. For å starte animasjonen skriver du inn startverdien på høyden y0 og trykker på "sett verdi og start animasjonen". Merk at komma i startverdien må skrives "." (uten anførselstegn) og ikke ",".

Prøv med ulike verdier og se hvordan det påvirker forløpet. Hvilken begrensning er det på de verdiene du kan skrive inn?

0.5 Importering av matematisk funksjon

Animasjon 0.5 Import av matematisk funksjon

I noen tilfeller skal du selv skrive inn en matematisk funksjon til animasjonen. I denne animasjonen skal du skrive inn funksjonen x(t) som beskriver bilens posisjon som funksjon av tiden t. For å skrive inn en funksjon må man følge visse regler:

  • Multiplikasjon skrives med "*" og må alltid skrives inn (d.v.s. skriv 3*t og ikke 3t)
  • Division skrives med "/"
  • Bruk "." til å skrive komma (skriv 12.5 og ikke 12,5)

Tillatte funksjoner i Physlets er:

sin(a) cos(a) tan(a) sinh(a) cosh(a) tanh(a) 
 asin(a) acos(a) atan(a) asinh (a) acosh(a) atanh(a)  
step(a) sqrt(a) sqr(a)  exp(a)   ln(a)   log(a)
 
 

 x(t) =   

Last animasjon på nytt.

Prøv følgende funksjoner:

  • 0.3*t^2 (alternativt: 0.3*t*t)
  • -20*t+3*t^2  
  • int(t)
  • 10*sin(pi*t/2)
  • step(t-2)*3*(t-2)

Lag også andre funksjoner selv.

1.0 Kinematikk i én dimsjon

1.1 Posisjon og forflytning

Animasjon 1.1 Posisjon og forflytning

I fysikken snakker vi om tilbakelagt lengde og forflytning for å beskrive hvordan et objekt endrer posisjon. Legg merke til at disse to begrepene ikke betyr det samme selv om det kanskje høres slik ut. Lengde er den veien som et legeme tilbakelegger, mens forflytning skjer mellom to punkter.

Som et eksempel tar vi for oss følgende scenario: du tar bilen ut fra garasjen og kjører til butikken, handler, kjører hjem igjen og setter bilen tilbake i garasjen. I løpet av denne turen har du kjørt en viss lengde, men du har ikke forflyttet bilen (forutsatt at du parkerte der du fant bilen i utgangspunktet).

Dette gjør at man kan si at forflytningen er uavhengig av veien, men bare avhenger av start- og sluttposisjonen. Legg merke til dette resonnementet, for det kommer til å dukke opp i andre sammenhenger. Legg også merke til at forflytning egentlig er en vektorstørrelse (dvs at den har både størrelse og retning), mens lengde er en skalar (dvs at den ikke har noen retning).

Forflytningen Δx er forskjellen mellom sluttposisjonen x og startposisjonen x0, og kan beskrives slik:

Δx = x − x0

Legg merke til at forflytningen skjer i løpet av en viss tid: Δt. Vi definerer gjennomsnittsfarten i dette tidsintervallet som:

v = Δx/Δt

På samme måte som vi skiller mellom lengde og forflytning skiller vi mellom fart (på engelsk: speed) og hastighet (på engelsk: velocity). Fart er definert ovenfor som tilbakelagt lengde delt på tiden det tok å tilbakelegge lengden, mens hastighet er forflytning delt på tiden det tok å gjøre forflytningen, noe som betyr at fart og hastighet ikke er det samme. Av dette følger også at hastighet er en vektorstørrelse mens fart er en skalar størrelse. Ser du hvorfor?

Vi presenterer her to animasjoner som viser 3 leketøysbiler med sine respektive posisjoner i en x-t graf. Origo er markert med en pil og posisjonen er angitt i cm og tiden i s.

Animasjon 1 viser tre biler som har ulike startpunkter. Hvordan forflytter bilene seg i forhold til hverandre? Det er mulig å få posisjonen for en bil ved å holde nede venstre museknapp. Hvilken gjennomsnittsfart har bilene i animasjonen?

Som dere legger merke til er gjennomsnittsfarten i Animasjon 1 lik for alle bilene. Til tross for at de starter i forskjellige startposisjoner tilbakelegger de samme lengde i løpet av like lang tid. Dette kan man se på stigningen til grafene.

I Animasjon 2 har bilene samme startposisjon, men tilbakelegger forskjellige lengder i løpet av tiden animasjonen tar. Dette gjør at bilene forflytter seg forskjellig, og får dermed forskjellig gjennomsnittsfart, hvilket også kan sees på stigningen i grafene.

1.2 Sammenheng mellom x-t-diagram og v-t-diagram

Animasjon 1.2 Sammenheng mellom x-t-diagram og v-t-diagram

Her vises tre ulike animasjoner; alle forestiller tre biler som kjører mot høyre. Vi kan beskrive bevegelsen på to forskjellige måter: som funksjon av tiden i et x-t-diagram eller som funksjon av tiden i et v-t-diagram. Posisjon angis her i cm, tiden i s og farten i cm/s.

Studér nøye hvordan startposisjonen påvirker grafens utseende. Bruk grafene til å beskrive bevegelsen med ord. Hva betyr stigningen i v-t-diagrammet.

Husk at du alltid kan forstørre grafen ved å høyre-klikke og endre størrelsen på vinduet som blir åpnet.

1.3 Gjennomsnittsfart

Animasjon 1.3 Gjennomsnittsfart

I animasjon 1.1 definerte vi gjennomsnittsfarten som:

vmiddel = Δx/Δt

og gjennomsnittshastigheten som:

vmiddel = Δx/Δt

Legg merke til at forflytningen Δx og farten vmiddel er vektorer, hvilket er indikert ved å bruke fet (uthevet/bold) skrift.

Dette gjør det enkelt å finne gjennomsnittshastigheten hvis farten er konstant. Vi kan beskrive posisjonen som funksjon av startposisjon, fart og tid: x = x0 + v×(t − t0).Men hva skjer når farten ikke er konstant? Dette vises i animasjonen.

Hva blir bilens gjennomsnittsfart i dette tilfellet? Definisjonen gjelder fortsatt, men gjennomsnittsfarten kommer nå til å være avhengig av hvilket tidsintervall Δt vi måler den over. Hvis vi for eksempel ser på gjennomsnittsfarten i intervallet mellom 5s og 10s, trenger vi å bestemme tilbakelagt lengde og tiden som ble brukt til å tilbakelegge denne lengden. Dette kan vi gjøre i grafen ved å først klikke på "vis tidsintervall og lengde" og deretter klikke på "vis grafens stigning".

Trekk en rett linje gjennom intervallets startpunkt (i dette tilfellet [5,5]) og stoppunkt (i dette tilfellet [10,10]). Stigningen til denne linjen er gjennomsnittsfarten, akkurat på samme måte som om bilen hadde kjørt med konstant fart.

1.4 Gjennomsnittlig og momentan fart

Animasjon 1.4 Gjennomsnittelig og momentan fart

Hvis vi bare kjenner gjennomsnittsfarten til et legeme har vi ikke noen mulighet til å finne ut hva farten faktisk er i ett bestemt øyeblikk. For å gjøre dette må vi minske tidsintervallet som vi midler gjennomsnittsfarten over. Vi kommer da til å være i stand til å bestemme farten i ett bestemt øyeblikk; denne farten kaller vi momentanfarten.

Animasjonen gjør det mulig for deg å se hvordan bilens gjennomsnittsfart ser ut i ulike tidsintervall. Posisjonen er her angitt i cm og tiden i s.

 

tstart: s        tslutt: s

Last animasjonen på nytt.

Still inn tidsintervallet og klikk på "vis tid, lengde og stigning". Gjør dette for ulike tidsintervall, f.eks. (5 s,10 s), (6 s,9 s),(7 s,8 s), (7.4 s,7.6 s). Du kan alltid høyreklikke for å få fram grafen i et nytt vindu du kan forstørre.

Ved å velge mindre og mindre intervall kommer vi nærmere momentanfarten, men for å finne momentanfarten må intervallet Δt gå mot null:

Dette er ingenting annet enn definisjonen av den deriverte. Det betyr at momentanfarten er den tidsderiverte av posisjonen. Dette er det samme som tangenten på posisjonsgrafen.

I denne illustrasjonen av momentanfart kan du studere dette.

Posisjonen til bilen i animasjonen kan beskrives av funksjonen: x(t) = 1.0*t2 hvilket innebærer at funksjonen for farten er den deriverte av dette, altså at v(t) = 2*t, hvilket stemmer med stigningen til funksjonen som kan sees i animasjonen.

For å oppsummere kan man si at gjennomsnittsfarten gis av en korde i et x-t diagram og momentanfarten av tangenten.

1.5 Bestem x(t) og v(t)

Animasjon 1.5 Bestem x(t) og v(t)

Vi skal nå prøve å finne den funksjonen x(t) som bestemmer posisjonen for en bil i animasjonene. Kjør animasjonen og studér hvordan bilens bevegelse er. Skriv siden inn den funksjonen som du anser som den som best beskriver bilens posisjon. Posisjonen er her angitt i cm og tiden i s. Skriv funksjonen og trykk på "Kontroller funksjon". Venstreklikk med musen for å bestemme posisjonen for ulike tidpunkter.

Husk å oppgi formler i riktig format, jf. animasjon 0.5.

Prøv nå å gjøre det samme med farten som funksjon av tiden, v(t). Farten er her angitt i cm/s og tiden i s.

1.6 Konstant akselerasjon

Animasjon 1.6 Konstant akselerasjon

Hvis farten til et objekt endres kan det bare skyldes at det blir utsatt for en akselerasjon. Vi kommer tilbake til hvordan dette egentlig skjer senere i kurset. Gjennomsnittelig akselerasjon bestemmes på tilsvarende måte som gjennomsnittsfart:

For å finne gjennomsnittelig akselerasjon observerer vi fartsendringen over et tidsintervall. Legg merke til at akselerasjonen både kan være en skalar (har bare en verdi/et tall) og en vektor (har både verdi og retning). For å finne momentanakselerasjonen må vi finne den deriverte av farten:

Legg merke til at når vi snakker om vektor-akselerasjon så kommer fortegnet til akselerasjonen til å være viktig; en økning av farten i positiv bevegelsesretning gir positiv akselerasjon. En minskning av farten i bevegelsesretningen gir negativ akselerasjon i denne retningen. Om vi tenker oss at positiv retning er i kjøreretningen av en bil, så vil man få en positiv akselerasjon når man gasser, mens en oppbremsning gir negativ akselerasjon.

I animasjonen kan du observere en 1 kg vogn i bevegelse. I de forskjellige animasjonene du kan velge er akselerasjonen forskjellig, og du skal undersøke hvor stor akselerasjonen er. Du kan gjøre målinger av posisjonen ved å venstreklikke med musen på det røde punktet på vognen. Posisjonen er her angitt i cm og tiden i s.

For å få få mest ut av øvingen anbefaler jeg først å beskrive akselerasjonen med ord, deretter forsøke å regne den ut. Akselerasjonen i animasjonen er konstant. Det er mulig å se vognens fart ved å hake av i avkrysningsboksen nedenfor før man starter animasjonen, men prøv først denne øvelsen ved bare å måle vognens posisjon uten å se på farten.

For å se farten til vognen, hak av i denne boksen og velg en animasjon.

Animasjon 1 Animasjon 2 Animasjon 3 Animasjon 4 Animasjon 5 Last animasjon på nytt

Du har forhåpentligvis observert at vognen beveger seg med konstant fart i animasjon 1 og 2. Med trening kan man se at det er en uniform bevegelse som illustreres her. Det er også relativt lett å kontrollere dette. I Animasjon 1 er vognen ved x = 0 m når t = 0 s, ved x = 0.5 m når t = 0.25 s, ved x = 1.0 m når t = 0.5 s, ved x = 1.5 m når t = 0.75 s og ved x = 2.0 m når t = 1.0 s. Vognens bevegelse er uniform med farten v = 2 m/s.

I Animasjonene 3, 4, og 5 er ikke bevegelsen uniform og vognen utsettes her for akselerasjon. Nå er det litt vanskeligere å beregne akselerasjonen, men vi kan utnytte de ligningene som gjelder for bevegelse:

v = v0 + at, 

x = x0 + v0t + 0.5at2,

og

v2 = v02 + 2a(x - x0).

Vi kan ikke bruke den første (det gjør det for enkelt) uten at vi får se på det vi kan måle, dvs posisjon og tid. Det blir den andre ligningen som vi kan bruke. I Animasjon 3 og Animasjon 4 starter vognen fra hvile (vognen starter i ro, v(0) = 0 m/S) så ligningen kan skrives som x = x0 + 0.5at2, eller a = 2(x - x0)/t2. I animasjon 3 er x = 2 m ved 1 s og i animasjon 4 er x = ‑2 m ved 1 s. Vi få da akselerasjonene 4 m/s2 respektive -4 m/s2.

Animasjon 5 er litt mer komplisert. Vognen har en startfart, men bremser opp i løpet av animasjonen, dvs en positiv fart og negativ akselerasjon. Hvordan skal vi nå kunne beregne akselerasjonen? Dette er ikke mulig med de gitte opplysningene. Hvorfor ikke?

Man burde kunne beregne startfarten med Δx/Δt, men dette fungerer dessverre ikke så bra fordi vi ved t=0 bare kan finne gjennomsnittsfarten over et tidsrom og ikke momentanhastigheten. Her må vi derfor se vognens fart og bruke v = v0 + at eller v2 = v02 + 2a(x - x0). Dette gir en akselerasjon på ca -3.7 m/s2. Hvis du hadde brukt Δx/Δt for å finne startfarten ville du fått ca 3 m/s som er ganske forskjellig fra den virkelige startfarten på 3.7 m/s.

Hvis du haker av i boksen for å se farten til vognen i animasjonen kan du bruke v = v0 + at for å beregne akselerasjonen.

1.7 Bestemme arealet under kurvene a(t) og v(t)

Animasjon 1.7 Bestemme arealet under kurvene a(t) og v(t)

Her studerer vi en vogn som veier 1 kg og som utsettes for ulike konstante akselerasjoner. I animasjonene kan du måle posisjonen med det røde punktet. Men her viser vi også et v-t og et a-t diagram. Posisjonen er her angitt i cm og tiden i s.

I tillegg vises en tabell med tid, posisjon, startposisjon, arealet under kurven i x-t diagrammet (integralet ∫v dt), farten, startfarten og arealet under kurven i v-t diagrammet (integralet ∫a dt).

Animasjon 1 Animasjon 2 Animasjon 3 Animasjon 4 Animasjon 5 Last animasjon på nytt

Studer alle animasjonene og besvar følgende spørsmål for hver animasjon.

  1. Hva er startposisjonen?
  2. Hva er sluttposisjonen?
  3. Hvor stor er vognens forflytning (x-x0)?
  4. Hvor stor er det totale arealet under kurven i v-t diagrammet?
  5. Jm.f. svarene i c og d. Hvorfor blir det slik?
  6. Hva er startfarten?
  7. Hva er sluttfarten?
  8. Hva er forskjellen mellom start- og sluttfarten (v-v0)?
  9. Hvor stor er det totale arealet under kurven i a-t diagrammet?
  10. Jm.f. svarene i h og i. Hvorfor blir det slik?

Du kan besvare disse spørsmålene for hvilket som helst tidspunkt. Hva skjer i spørsmål e og j?

1.8 Fritt fall

Animasjon 1.8 Fritt fall

Hvis vi slipper en ball kommer den til å oppleve det vi kaller fritt fall. Dette innebærer at ballen bare påvirkes av tyngdeakselerasjonen (legg merke til at vi må se bort fra luftmotstanden for at dette skal være helt sant). Hvis vi definerer +y‑retningen oppover er akselerasjonen negativ og konstant med verdi −9.8 m/s2. Om +y-retningen er definert nedover er akselerasjonen +9.8 m/s2.

 

Studer hvordan posisjon, fart og akselerasjon ser ut i Animasjon 1. Legg merke til at avstanden mellom fantomsporene som avsettes med et konstant tidsintervall øker.

Animasjon 2 viser en ball som kastes opp. Hvilken akselerasjon utsettes ballen for under kastebevegelsen? Den grønne pilen viser ballens fart. Hva blir farten i banens høyeste punkt?

Studér grafene! På toppen av banen endres den oppadgående bevegelsen (positiv fart) til en nedadgående bevegelse (negativ fart). Siden farten endres kontinuerlig må farten være null i vendepunktet. Akselerasjonen som endrer farten er konstant gjennom hele forløpet (−9.8 m/s2). Du ser at akselerasjonen er konstant ved at farten (se v-t diagrammet) er en rett linje.

Animasjon 3 viser en ball som kastes nedover. Legg merke til at farten er høyere men at akselerasjonen er konstant.

1.9 Fall med luftmotstand

Animasjon 1.9 Fall med luftmotstand

Når vi regner på frie fall idealiserer vi gjerne virkeligheten ved å se bort fra luftmotstanden for å forenkle problemet, jfr. animasjon 1.8. I denne animasjonen gjør vi ikke denne forenklingen, og viser vi en ball som faller under påvirkning av luftmotststanden. Her antar vi at friksjonskraften (luftmotstanden) er rettet motsatt av bevegelsesretningen og direkte proporsjonal med hastigheten. Proporsjonalitetskonstanten omtales som k.

Merk at at et objekt som faller til slutt kommer til å oppnå en konstant slutthastighet. Slutthastigheten blir g/k, der g er tyngdeakselerasjonen og k er friksjonskoeffisienten for luftmotstanden. Sett en verdi på k og velg en animasjon fra listen nederst. Prøv for flere forskjellige verdier av k!

 

Luftmotstandskoeffisienten k = s-1

Prøv følgende animasjoner:

2.0 Kinematikk i to dimensjoner

2.1 Dekomponering av vektorer

2.1: Dekomponering av vektorer

Animasjonen nedenfor viser en vektor i et koordinatsystem. Egenskapene til vektoren vises i tabellen under. Det finnes to måter å representere denne vektoren på:

  1. komponentform: representere vektoren med dens x- og y-koordinater (x,y)
  2. polar representasjon: vektoren representeres med lengde r og vinkelen θ som den danner med x-aksen

Begge representasjonene er like korrekte, men i de fleste tilfeller vil en representasjonsmåte være mer naturlig (og enklere å bruke) enn den andre. I denne animasjonen kan du endre på vektoren ved å klikke på den lille sirkelen dra den dit du vil ha den.

Vent til animasjonen har blitt lastet inn.

Lengde og retning: En vektor som den i animasjonen har en lengde og en retning. Lengden vises i tabellen som r, og er alltid et positivt tall. Retningen θ vises i tabellen i grader og angis i forhold til en av aksene. Vanligvis brukes den positive x-aksen som referanse.

Dekomponert vektor: Når man løser oppgaver i to (eller flere) dimensjoner er det ofte hensiktsmessig å dele vektoren opp i komponenter. Dette er illustrert i denne animasjonen. Nå vises x- og y-komponentene av vektoren i koordinatsystemet, og når du endrer den røde vektoren endres også vektorens komponenter. Lengden av x- og y-komponenten vises i tabellen som henholdsvis "x" og "y". Forsøk nå å holde lengden på vektoren konstant og endre på vinkelen. Hvordan forandrer komponentene seg? Når vinkelen blir mindre kommer x-komponenten til å bli større og y-komponenten mindre. Når vinkelen nærmer seg 90° blir x-komponenten mindre og y-komponenten nærmer seg størrelsen på den røde vektoren. Hvorfor det? Matematisk kan man skrive det som:

x = r cos(θ) og y = r sin(θ)

Fra en vektor på dekomponert form er det lett å regne seg tilbake til vektorens størrelse og retning. Følgende relasjoner gjelder:

r = (x2 + y2)1/2 og θ = tan-1(y/x)

Legg merke til at lengden av en vektor alltid er positiv.

2.2 Addisjon av forflytningsvektorer

2.2 Addisjon av forflytningsvektorer

Her skal vi se hvordan forflytning kan betraktes som en sum av flere mindre forflytninger. Hver av disse mindre forflytningene gir opphav til en forflytningsvektor, og summen av disse forflytningsvektorene tilsvarer den totale forflytningen. I animasjonen har vi en ball som beveger seg, og du skal dele opp denne bevegelsen i to forskjellige bevegelser. Gjør dette ved å følge punktene nedenfor. For å slette vektorene du legger inn må du enten trykke på knappen merket "Clear Screen" eller laste animasjonen på nytt.

 

  1. Tegn en vektor som viser forflytningen for tidsintervallet fra t = 0 til t = 8 s. Dette gjør du ved å klikke på "Draw Vector"-knappen. Flytt vektoren ved å klikke på den lille prikken der vektoren starter og dra den til der ballen er ved tidspunkt t = 0.
  2. Start animasjonen og kjør den til tidspunkt t = 8 s. Klikk på den lille prikken på vektorpilen og dra den dit hvor ballen er nå. Denne vektoren starter der ballen startet og slutter der ballen er nå, og viser altså forflytningen i dette tidsintervallet.
  3. Tegn en ny forflytningsvektor for ballen for tidsintervallet fra t = 8 s til t = 16 s. Bruk samme prosedyre som før. Husk å klikke på "Draw Vector" for å få en ny vektor og at vektoren nå skal starte der ballen er ved t = 8 s og slutte der den er ved t = 16 s. Om du gjør alt riktig skal du når du er ferdig ha to vektorer i vinduet.
  4. Tegn nå en vektor for tidsintervallet fra  t = 0 til t = 16 s. Bruk samme prosedyre som før. For å flytte ballen tilbake til t = 0 kan du trykke "reset"-knappen.
  5. Hvis du har gjort alt riktig skal du nå ha tre vektorer på skjermen. Hva er sammenhengen mellom dem? Husk at man adderer vektorer ved å lage en ny vektor som begynner der den første vektoren begynner og slutter der den siste vektoren slutter.

Ser du at den siste vektoren du tegnet inn (forflytningsvektoren for tidsintervallet fra t = 0 til t = 16 s) er det samme som summen av de to første vektorene du tegnet? Klikk her for å se ballens forflytning for hele tidsintervallet. Stemmer ditt resultat med løsningen?

2.3 Bevegelse langs et skråplan

Animasjon 2.3 Bevegelse langs et skråplan

Galileo Galilei var den første til å innse at friksjonsfritt skråplan kunne brukes til å redusere effekten av gravitasjonen. Han så at dersom planet var vertikalt (altså hadde en helning på 90°) tilsvarte bevegelsen et fritt fall. Dersom planet var horisontalt (hadde en helning på 0°) ville ikke legemet på dette planet røre seg i det hele tatt. Dersom man endrer vinkelen fra 90° kommer akselerasjonen til å avta. Ved hjelp av dette kunne Galileo beregne akselerasjonen til legemet på skråplanet, og fra dette kunne han også beregne tyngdens akselerasjon.

Matematisk uttrykker vi akselerasjonen tyngdekraften gir et legeme på et skrått plan slik: geff = g sin(θ), der geff er den akselerasjonen tyngdekraften gir et legeme på et skråplan som danner en vinkel θ med et horisontalt plan.

Ved å bruke ulike objekt som gled nedover et glatt (friksjonsfritt) plan kunne han bevise at alle objekt akselererer med samme akselerasjon. Prøv dette selv i animasjonen. Her er tiden angitt i sekunder og avstand i meter.

Vent til hele animasjonen har blitt lastet inn.

Galileo lot sine objekt starte fra ro på et skråplan. Hvilke resultater fikk han? Galileos konklusjon var at i løpet av like lange tidsintervall øker den suksessive (totale) forflytningen med odde heltall: 1, 3, 5, 7, …

Hvorfor var det slik? Tabellen under presenterer Galileos målinger på en mer forståelig måte. Legg merke til at bevegelsen som skildres her tilsvarer en beveglse på et skråplan med en akselerasjon på 2m/s2)

tid (s) forflytning i løpet av tidsintervallet (m) total forflytning (m)
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 7 16

Den siste kolonnen får man ved å addere alle forflytninger som har skjedd, slik at man får den totale forflytningen. Hva er forholdet mellom forflytningen og tiden? Vi ser at det er en sammenheg mellom forflytningen og kvadratet av tiden. Vi vet fra kapittel 2 i Y&F at x = x0 + v0*t + 0.5*a*t2 (eller x = x0 + 0.5*a*t2 ettersom startfarten er null). Dette vil si at Δx er proporsjonal med t2.

2.4 Kastebevegelse

Animasjon 2.4 Kastebevegelse

I animasjonen nedenfor viser vi en lilla ball som gjennomgår en kastebevegelse. Posisjonen er her angitt i meter og tiden i sekunder. For å illustrere bevegelsen i forskjelige retninger vises en blå og en rød ball med tilhørende fantombilder. Disse to ballene illustrerer henholdsvis x- og y-komponentene til den lilla ballens bevegelse. For å forstå kastebevegelsen er det nødvendig at du forstår at kastebevegelsen kan deles opp i én bevegelse i x-retning og én bevegelse i y-retning, og at disse kan behandles separat.

Vent til hele animasjonen er lastet inn.

Last animasjonen på nytt.

Vi starter med å se på x-komponenten av bevegelsen. Legg merke til at den lilla ballen og den blå ballen beveger seg like fort mot høyre, og at fantombildet av den lilla ballen ligger på samme horisontale strek som fantombildet av den blå ballen. Dette betyr at den lilla ballens bevegelse i x-retning er lik den blå ballens bevegelse i x-retning. Legg også merke til at avstanden mellom spøkelsesbildene (som blir avsatt med ett sekunds intervall) er konstant. Det betyr at forflytningen for hvert tidsintervall er konstant; med andre ord er farten til den lilla ballen i x-retning konstant. Dette kan også sees av grafen til venstre.

Så ser vi på bevegelsen i y-retning. Legg merke til at spøkelsessporene for den røde ballen og den lilla ballen ligger på samme horisontale strek. Det betyr at den røde ballens bevegelse i y-retning er lik den lilla ballens bevegelse i y-retning. Som du ser avtar avstanden mellom fantombildene på vei opp og øker på tur ned. Dette viser at vi har en akselerasjon som er rettet nedover. Ved å studere farten i y-retning (i grafen til høyre) ser vi at akselerasjonen er konstant (fordi stigningen til fartskurven er konstant).

Hva er den lilla ballens fart i kastebanens høyeste punkt? Du ville kanskje svart null? Men glem ikke at farten har to komponenter; vx og vy. I det høyeste punktet har du helt rett i at vy er null, men glem ikke at vx ikke er lik null. Altså er ikke farten i det høyeste punktet null! Legg også merke til at akselerasjonen i det høyeste punktet heller ikke er null! Dette er utbredte misoppfatninger. For å se farts- og akselerasjonsvektorene kan du trykke her. Legg merke til fartsvektoren i det høyeste punktet (ved t=4s).

2.5 Kastebevegelse mot mål

Animasjon 2.5 Kastebevegelse mot mål

Et prosjektil avfyres fra den røde prikken ved t = 0 s når du trykker på startknappen nedenfor. Du skal justere utgangsfart og -vinkel slik at du treffer målet ved den grønne prikken. Det er også mulig å endre høyden prosjektilet avfyres fra.

Husk at du kan venstre-klikke i animasjonsvinduet for å lese av koordinatene til et objekt. Posisjonen du leser av er gitt i meter og tiden er gitt i sekunder. Bruk dette til å beregne verdier som gjør at du treffer målet.

v0 =  m/s θ =  o h =  m

Vent til hele animasjonen har blitt lastet inn

Last animasjon på nytt

Se først på tilfellet hvor utskytings- og målpunktet er på samme nivå (altså at h = 0 m). Prøv å variere utgangsfarten og -vinkelen, og besvar følgende spørsmål:

  1. For en gitt utgangsfart, hvilken utgangsvinkel gir størst rekkevidde for prosjektilet?
  2. For vinkelen du fant i a), hvilken utgangsfart gjør at du treffer målet?
  3. Hvilke andre verdier gjør det mulig å treffe målet?
  4. Er det noen sammenheng mellom disse verdiene?

For h = 10 m, prøv å variere utgangsfarten og -vinkelen, og besvar følgende spørsmål:

  1. For en gitt utgangsfart, hvilken utgangsvinkel gir størst rekkevidde for prosjektilet?
  2. Hvilke verdier for utgangsvinkelen og -farten gjør at du treffer målet?
  3. Er det noen sammenheng mellom disse verdiene?
  4. Er verdiene de samme som i c)?

For h = −10 m, prøv å variere utgangsfarten og -vinkelen, og besvar følgende spørsmål:

  1. For en gitt utgangshastighet, hvilken utgangsvinkel gir størst rekkevidde for prosjektilet?
  2. Hvilke verdier for utgangsvinkelen og -farten gjør at du treffer målet?
  3. Er det noen sammenheng mellom disse verdiene?
  4. Er verdiene de samme som i c) og f)?

2.6 Kastebevegelse mot et bevegelig mål

Animasjon 2.6 Kastebevegelse mot et bevegelig mål

Dette er en oppgave hvor du skal skyte med kanon mot en bevegelig blink. For å treffe blinken må du beregne en passende bane som kanonkulen skal følge. Posisjonene gis i meter og tiden gis i sekunder. Nederst på siden er det gitt noen oppgaver som du skal løse. Velg en oppgave og gjør det som står i oppgavebeskrivelsen. Trykk på knappen merket "skyt!" for å skyte en kule fra kanonen.

Utgangshastighet m/s
Elevasjonsvinkel °
Tyngdeakselerasjon N/kg
Høyde m
Blinkens startposisjon m
Blinkens starthastighet m/s
Blinkens akselerasjon m/s2

Begynn øvingen ved å velge en oppgave. Du kan løse en av oppgavene nedenfor eller fylle ut verdier i tabellen overfor for å lage ditt eget scenario. Hvis du velger å løse de foreslåtte oppgavene er det bare tillatt å endre på de verdiene det står eksplisitt at du skal endre på. De øvrige er beregnet på å stå uendret.

Oppgave 1 Endre utgangshastigheten slik at du treffer et stasjonært mål fra en høyde
Oppgave 2 Endre utgangshastigheten slik at du treffer et stasjonært mål fra marken med 45° utskytingsvinkel
Oppgave 3 Endre vinkelen. Undersøk hvordan vinkelen påvirker rekkevidden av kanonen
Oppgave 4 Velg en elevasjonsvinkel. Beregn utgangshastighet for å treffe et stasjonært mål fra marken
Oppgave 5 Endre utgangshastighet for å treffe et stasjonært mål fra en høyde med 45° utskytningsvinkel
Oppgave 6 Endre utskytningsvinkelen for å treffe et stasjonært mål fra en høyde
Oppgave 7 Endre utgangshastighet for å treffe et bevegelig mål
Oppgave 8 Endre utgangshastighet for å treffe et bevegelig mål fra en høyde
Oppgave 9 Endre utgangshastighet for å treffe et akselererende mål fra en høyde

2.7 Sirkelbevegelse og akselerasjon

Animasjon 2.7 Sirkelbevegelse og akselerasjon

Vänta tills hela animasjonen laddats in.

Last animasjonen på nytt.

Uniform sirkelbevegselse er en blandning av en- og todimensjonale begrep, og innebærer at objektets fart langs sirkelbanen er konstant, herav betegnelsen uniform bevegelse. Animasjon 2.7.1 viser en ball som gjennomgår en uniform sirkelbevegelse. I alle animasjonene kan ballens posisjon finnes ved å venstreklikke på ballen. Posisjonen vises i meter og tiden i sekunder.

Farten er altså konstant. Men hva med akselerasjonen?

Blir objektet i Animasjon 2.7.1 utsatt for en akselerasjon? Farten er konstant, men farten endrer åpenbart retning! Altså må objektet være under påvirkning av en akselererende kraft som forårsaker denne fartsendringen. For å finne akselerasjonen mellom to tidspunkt må vi finne fartsendringen mellom de samme tidspunktene.

I animasjon 2.7.2 vises fartsvektoren for to ulike tidspunkt. Ser du at fartsvektoren endres med tiden? Legg merke til at fartsvektoren både har en retning og en verdi. Fartsvektoren peker langs tangenten til veien; dette kaller vi den tangentiale retningen. Farten (absoluttverdien/lengden av fartsvektoren) må for uniforme sirkelbevegelser være konstant, men for andre typer bevegelse kan denne være en funksjon av tiden.

I hvilken retning peker fartsendringen i animasjon 2.7.2?

Animasjon 2.7.3 viser hvordan vi finner akselerasjonen; her er fartsendringen er markert i rødt og betegnes som dv. Ser du at dv peker mot sentrum av sirkelen? Akselerasjonsvektoren, som har samme retning som dv, må også peke mot sentrum av sirkelen; denne retningen kalles den sentripetale retningen. Av og til kalles den også den radielle retningen, ettersom radien peker fra sentrum av sirkelen og ut til objektet. Merk at akselerasjonen peker i motsatt retning av den radiale, altså mot sentrum av sirkelen. For sirkelbevegelser gjelder dette alltid, uavhengig av fart og radius i sirkelbevegelsen. Det gjelder også når farten endres i løpet av bevegelsen.

At akselerasjonen alltid peker mot sentrum kan man utnytte til å dele opp bevegelsen i to retninger: den tangentielle og den radiale. Dette illustreres i animasjon 2.7.4. Her ser man farts- og akselerasjonsvektoren for alle punktene i sirkelbevegelsen. Legg merke til at akselerasjonen alltid peker radielt og farten alltid peker tangentielt.

2.8 Sirkulær bevegelse

Animasjon 2.8 Sirkulær bevegelse

Vent til hele animasjonen har blitt lastet inn.

Last animasjonen på nytt.

Denne animasjonen viser et punkt (markert med rødt) som sitter fast på et roterende hjul. Ved å venstreklikke på punktet kan du finne dets posisjon. Posisjon gis i meter og tiden i sekunder.

  1. Legg merke til at punktets fart er konstant. Men er fartens retning konstant?
  2. Klikk her for å vise hastighetsvektoren. Er farten til punktet konstant?
  3. Hvilken retning har punktets akselerasjonsvektor? Klikk her for å vise akselerasjonsvektoren.
  4. Hva er farten til det røde punktet sammenlignet med et annet punkt som er plassert på det samme hjulet, men bare halvparten så langt fra sentrum som den røde punktet? Klikk her for å vise begge punktene, det siste markert i grønt. For å gjøre figuren ryddigere er det grønne punktet markert på motsatt side av hjulet i forhold til det røde, men det spiller ingen rolle hvor på hjulet vi plasserer det grønne punktet.
  5. Hvorfor er farten til det grønne punktet mindre enn farten til det røde?
  6. Hvor stor er akselerasjonen til det røde punktet sammenlignet med det grønne punktets akselerasjon? Klikk her å vise farts- og akselerasjonsvektorene til begge punktene.

2.9 Sirkulær og eliptisk bevegelse

Animasjon 2.9 Sirkulær og elliptisk bevegelse

Vi skall titta på det mer allmänna fallet med cirkulär rörelse, observera at det er en cirkel som er specialfallet. Här kan vi lämna rena cirklar og tittar även på ellipser. Dette er viktigt då vi senare skall titta på planetrörelse som ikke sker i cirklar utan i ellipser.

Denne animasjonen viser en grønn planet som kretser rundt en gul stjerne. En animasjon viser planeten i en uniform sirkelbevegelse og den andre viser en (ikke-sirkulær) elliptisk bevegelse. Posisjonen angis i 103 km og tiden i år. Målet er å vise fart og akselerasjon for disse to typene bevegelse for å se på forskjeller og likheter.

Start animasjonen med uniform sirkelbevegelse og observer planetens bevegelse. Hvordan vil du beskrive planetens bevegelse og bane, særlig med tanke på fart og akselerasjon?

Planetens fart er her konstant ettersom bevegelsen er uniform. Som tidligere nevnt er det bedre å bruke radielle og tangentielle retninger for å beskrive planetens bevegelse, og man kan fra animasjonen se at planetens fart er i tangentiell retning og akselerasjonen er i negativ radiell retning, altså mot sentrum av sirkelen. Klikk her for å se fartsvektoren (blå pil) og sirkelbanens tangent (svart linje). Klikk her for å vise akselerasjonsvektoren også. Legg merke til at akselerasjonsvektoren peker mot stjernen i sentrum av sirkelen.

Vent til hele animasjonen er lastet inn.

Last animasjonen på nytt.

Nå skal vi se hva på fart og akselerasjon i en elliptisk bevegelse. Start animasjonen med elliptisk planetbane. Hvordan vil du beskrive planetens bevegelse og bane, særlig med hensyn på fart og akselerasjon?

Her er ikke farten til planeten konstant lenger. Planetbanen som funksjon av xy-koordinater blir ikke enkel å beskrive; vi bruker i stedet de radielle og tangentielle retningene, hvor farten kan beskrives som tangentiell og akselerasjonen som radiell. Klikk her for at se fartsvektoren (markert i blått) og her for å vise akselerasjonsvektoren (markert i rødt) i tillegg. Legg særlig merke til at farts- og akselerasjonsvektoren for størsteparten av bevegelsen ikke lenger står vinkelrett på hverandre.

Legg også merke til at planeten øker farten mellom punktene A og C, og mister fart mellom punktene C og A. Dette innebærer at i punktene A og C vil den tangetielle komponenten av akselerasjonen til å være null. Det viser seg at for en planet rundt en stjerne (dersom det ikke finnes andre planeter og stjerner i nærheten) er planetens akselerasjon rettet mot stjernen uansett om planetens bevegelse er uniform eller ikke. Man kan til og med snu resonnementet og si at en planet (eller et annet objekt) som blir utsatt for en akselererende kraft (som gravitation) fra en stjerne alltid har en elliptsik bevegelse, ettersom sirkelbevegelse også er en elliptisk bevegelse.

3.0 Newtons lover

3.1 Newtons første lov og referansesystem

Animasjon 3.1 Newtons første lov og referansesystem

Ved første øyekast kan det virke som om Newtons første lov (som sier at et objekt i ro forblir i ro og et objekt i bevegelse forblir i bevegelse om ingen kraft påvirker dem) inngår i Newtons andre lov. Dette er ikke tilfelle! Newtons første lov forutsetter et referansesystem (ellers vil ikke "i ro" eller "i bevegelse" gi noen mening), mens den andre loven er uavhengig av referansesystem.

Newtons første lov kalles iblant treghetsloven. Den definerer et sett av referansesystem som loven er gyldig i; disse referansesystemene kalles treghetssystemer. Med andre ord, Newtons første lov sier at om den totale kraften som virker på et legeme er null, er det mulig å finne minst ett referansesystem hvor objektet står stille. Det vil samtidig finnes mange andre referansesystem hvor objektet beveger seg med konstant hastighet.

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Disse animasjonene viser en kanon på en vogn. Ved tidspunkt t=1 s skytes en ball rett opp i luften. (posisjon angis i meter og tid i sekunder).

Spill av Animasjon 1. I denne animasjonen står vognen tilsynelatende i ro. Men står den virkelig i ro? Ta deg selv som eksempel: akkurat nå sitter du foran en PC-skjerm og leser dette. Beveger du deg eller er du i ro? Vi vet fra før at et legeme i et treghetssystem ikke selv kan avgjøre om det er i ro eller i bevegelse med konstant hastighet. Selv om du opplever seg selv som i ro, roterer du om jordens akse med konstant hastighet - du befinner deg i et treghetssystem, og merker ikke denne bevegelsen. Så hvordan kan vi avgjøre om vognen står i ro eller ikke?

Vi kan ikke bestemme om vognen er i ro eller i bevegelse så lenge den relative bevegelsen i forhold til jorden er konstant. I animasjonen skytes ballen rett opp og faller ned i vognen igjen. Hvis vognen virkelig var i ro, ville vi forventet dette resultatet.

Men vi ville også fått det samme resultatet hvis vognen var i bevegelse i forhold til jorden og vi beveget oss med samme fart! Forestill deg at vognen står på et bord i en jernbanevogn som beveger seg med konstant hastighet. Du sitter inne i vognen, mens en venn står utenfor (i ro) og ser inn gjennom vinduene i vognen. Du ville oppleve en bevegelse som i animasjon 1. Din venn ville oppleve en begvegelse som i animasjon 2. Om vognen beveger seg eller beveger seg med konstant hastighet kommer an på hvilket referansesystem man ser bevegelsen fra!

Hva kommer til å skje med vognens og ballens bevegelse om vognen beveger seg i forhold til vårt referansesystem (eller om vi beveger oss i forhold til vognens referansesystem)? Animasjon 2 og 3 viser bevegelsen for to ulike referansesystem. Hvordan ser bevegelsen ut?

Begge bevegelsene ligner kastebevegelse; ballen beveger seg i et plan istedet for langs en linje. Legg også merke til at ballen i begge tilfeller faller ned i vognen igjen. Dette skyldes at de krefter som virker ikke virker i x-retningen (altså at vognens og ballens bevegelse i denne retningen er konstant). Vognens og ballens horisontale fart er den samme, og beskriver et felles referansesystem. I dette referansesystemet "ser" vognen samme bevegelse i alle de tre animasjonene. Med andre ord: hvis du som tilskuer hadde sittet på vognen ville alle de tre animasjonene sett likedan ut!

3.2 Fri-kropps-diagram

Animasjon 3.2 Fri-kropps-diagram

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Denne animasjonen viser et legeme med masse 8 kg som beveger seg på et underlag. Posisjonen angis i centimeter og tid i sekunder. Hvilke krefter virker under denne bevegelsen?

Den øverste tabellen viser fire alternativer for kreftene som virker i x-retning, og bare ett alternativ er riktig. Den nedeste tabellen viser fire alternetiver for kreftene som virker i y-retning, og bare ett alternativ er riktig.

Se på legemets bevegelse ved å trykke på "spill av". Kreftene som virker på legemet analysserer vi ved å tegne en figur som viser kreftenes størrelse og regning. Dette kalles et fri-kropps-diagram (på engelsk kalles det "free body diagram"). Her ser vi på kreftene i x- og y-retning separat.

Se på kreftene i x-retning. Hvilke krefter virker? Hvor store er de? Se gjennom alle de fire alternativene for kreftene som virker i x-retningen. Hvilket alternativ tror du er korrekt?

Fri-kropp 1x viser en kraft som dytter legemet fremover. Er dette den eneste kraften som virker på legemet?

Newtons andre lov sier at dersom en netto kraft virker på et legeme vil dette gi legemet en akselerasjon. Endrer legemets fast seg i animasjonen?

Legemets fart er konstant, så det må virke enda en kraft på legemet; friksjonskraften vil virke motsatt av bevegelsen. Dermed er alternativene Fri-kropp 1x og Fri-kropp 3x uriktige ettersom de viser bare en kraft. Ettersom legemet beveger seg i konstant fart må kraftsummen i x-retning være null, altså må friksjonskraften være like stor som kraften som dytter legemet fremover, men motsatt rettet. Dermed er også Fri-kropp 2x feil. Det eneste alternativet som gjenstår er Fri-kropp 4x, som korrekt viser to krefter, like store og motsatt rettet.

Gjenta prosessen for kreftene i y-retning. Hvilke krefter virker? Hvor store er de? Se på hvert av de fire alternativene for kreftene i y-retning i den nederste tabellen. Hvilket alternativ tror du er riktig?

Her kjenner vi gravitasjonskraften som visas i Fri-kropp 1y. Er dette den eneste kraften som virker i y-retningen?

Ettersom legemet ikke akselereres i y-retningen må det være en kraft til som virker. Dette eliminerer Fri-kropp 1y og Fri-kropp 2y, som bare viser en kraft. Den andre kraften som mangler er den kraften som bordet påvirker legemet med, den såkalte normalkraften, som motvirker tyngdekraften. Normalkraften er i dette tilfellet like stor som tyngdekraften, men motsatt rettet. Så Fri-kropp 3y kan heller ikke være korrekt. Dermed gjenstår Fri-kropp 4y som viser det korrekte fri-kropps-diagrammet i y-retning.

For å løse hele problemet tegner vi inn alle kreftene i ett fri-kropps-diagram, uten å behandle hver komponent separat. Resultatet blir da et komplett fri-kropps-diagram, der alle kreftene vises. Trykk her for å vise det komplette diagrammet.

3.3 Newtons andre lov og krefter

Animasjon 3.3 Newtons andre lov og krefter

Selv om kraftbegrepet ikke er like fundamentalt som bevaringslovene, er det et sentralt tema i fysikkundervisningen. En kraft er noe som drar eller skyver et legeme, oftest ved kontakt med en annet legeme (som f.eks. en hånd). Denne påvirkningen vil få et objekt til å bevege på seg, eller til å endre sin bevegelse. Dette gjør at vi kan kvantifisere definisjonen av en kraft ved å bruke akselerasjonen.

Om massen til et objekt er konstant, er størrelsen på kraften som virker på objektet proposjonalt med objektets fartsending, d.v.s. akselerasjon. Eller uttrykt i en formel: ΣF = ma.

Denne definisjonen skal du bruke i denne animasjonen. Angi en massen til vognen i tekstboksen under, og velg hva du vil måle, fart eller akselerasjon. Stykk så "spill av". Klikk på figuren med to hender og dra den med musen. Bruk den til å gi vognen en dytt til høyre eller venstre. Posisjon angis i meter og tid i sekunder.

Endre vognens masse, m =  kg, klikk deretter på Fart eller Akselerasjon.

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Kraften som skal påvirke vognen i animasjonen styrer du med figuren med to hender ved å dytte figuren mot vognens høyre eller venstre side. Kraften vises med en pil under vognen. Start animasjonen og prøv deg fram i noen minutter. Hvis vognen havner utenfor skjermen starter du animasjonen på nytt.

Velg fart og prøv å føre figuren med hender bort til vognen så du i et kort øyeblikk påvirker vognen med en kraft. Hvordan ser fartsgrafen ut? Gjenta forsøket ved å velge akselerasjon. Påfør den påvirkende kraften både fra høyre og venstre.

Grafen bør vise en fartsøkning under akselerasjonen, og deretter være konstant. Akselerasjonsgrafen bør bare vise en topp mens du påvirker vognen, ellers bør den være null.

Gjenta forsøket, men prøv å påvirk vognen med en konstant kraft under hele animasjonen. Hvordan ser farts- og akselerasjonsgrafene ut? Fartsgrafen bør ha konstant stigningstall, og akselerasjonsgrafen bør være konstant.

Gjenta forsøket, men endre vognens masse. Hvordan påvirker massen farten og akselerasjonen?

3.4 Masse på skråplan

Animasjon 3.4 Masse på skråplan

Denne animasjonen viser et legeme på et friksjonsfritt skråplan. Du kan variere massen, m (100 gram < m < 500 gram) og vinkelen til skråplanet, θ (10° < θ < 45°) for å undersøke hvordan dette påvirker bevegelsen. Positionen angis i meter og tiden i sekunder. Last animasjonen på nytt.

m = gram            θ = grader;
 marker her for å se fri-kropps-diagram og total kraft

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Hvis man bruker det koordinatsystemet som ligger i animasjonen beveger legemet seg både i x- og y-retning; bevegelsen ser ut til å være i to dimensjoner. Hvis vi derimot definerer et koordinatsystem hvor den ene aksen går parallelt med skråplanet er bevegelsen endimensjonal langs denne aksen. Hvis vi legger x-aksen parallelt med skråplanet må y-aksen stå vinkelrett på skråplanet (ettersom aksene i et koordinatsystem skal stå ortogonalt/vinkelrett på hverandre). Dermed vil den totale kraften (og bevegelsen) gå langs den nye x-aksen, og vi trenger ikke dele opp normalkraften i enkeltkomponenter. For å se fri-kropps-diagrammet under bevegelsen markerer du av i boksen under animasjonen.

Hvilken kraft er opphavet til legemets akselerasjon? Det må være den delen av gravitasjonskraften som ligger langs skråplanet, altså F=m·g·sin(θ). Dette betyr at den andre komponenten av gravitasjonskraften må være like stor som normalkraften, men motsatt rettet, ellers ville ikke bevegelsen fulgt skråplanet. Legemets akselerasjon blir derfor a=g·sin(θ).

Endre på legemets masse, og se hvordan dette påvirker akselerasjonen.

Endre skråplanets vinkel, og se hvordan dette påvirker akselerasjonen.

I denne animasjonen er vinkelen begrenset til θ∈[10,45]. Kan du gjette hva den totale kraften og akselerasjonen kommer til å bli hvis θ=0° eller θ=90°?

3.5 Krefter på vogner

Animasjon 3.5 Krefter på vogner

I denne animasjonen dras to vogner, koblet sammen med et lett snøre, med et annet lett snøre. Kraften som drar vognene er konstant. Vi anser snørene som masseløse (d.v.s. ser bort fra snørenes masse.) Vognenes posisjon angis i centimeter og tiden i sekunder. Den røde vognen har masse 2.0 kg og den blå har masse 1.2 kg. Hvor stor er kraften fra hånden som drar i snøret og hvor stor er stramningen i snøret mellom vognene?

Svaret på disse spørsmålene får vi ved å bruke Newtons andre lov. Men først må vi definere systemet som skal analyseres.

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Last animasjonen på nytt

Hvor stor er kraften som hånden utøver på snøret? Vi begynner med å definere systemet som vi skal bruke Newtons andre lov på. Ettersom det er kraften på repet vi vil finne, velger vi å definere repet som systemet vi skal analysere. For å se hvilke krefter som virker på systemet tegner vi et fri-kropps-diagram. Trykk her for å vise fri-kropps-diagrammet.

Merk at det er to krefter som virker på repet: kraften fra hånden og kraften fra den røde vognen. Legg merke til at disse er like store og den totale kraften på repet er null! Men akselerasjonen er ikke null! At kraftsummen er null til tross for at vi har en akselerasjon skyldes at vi har negligert repets masse. I virkeligheten har repet en masse, men den er så liten av vi kan negligere den.

Hvor stor er kraften på den røde vognen? Her har vi to muligheter når vi velger system, enten ser vi på den røde vognen som ett system, eller så ser vi på begge vognene og repet mellom dem som ett system. Det spiller ingen rolle hvilket alternativ man velger, men det siste alternativet er det mest direkte og raskeste.

I denne animasjonen betrakter vi vognene og repet mellom dem som ett system. Det grå området rundt vognene symboliserer systemet. Spill av animasjonen.

Klikk her for å vise fri-kropps-diagrammet og studer animasjonen på nytt. Ut fra fri-kropps-diagrammet kan vi identifisere kriftene som virker, og nå kan du bruke Newtons andre lov på hånden og den røde vognen.

For å finne stramningen i repet mellom vognene kan du følge samme prosedyre: identifiser systemet, tegn fri-kropps-diagrammet, og bruk Newtons andre lov.

3.6 Newtons tredje lov, kontaktkrefter

Animasjon 3.6 Newtons tredje lov, kontaktkrefter

Denne animasjonen viser et rødt legeme, med masse 2 kg, som utsettes for en kraft på 12 N på et friksjonsfritt underlag. Grafer for posisjon, fart og akselerasjon som funksjon av tiden vises under. Posisjon angis i meter og tiden i sekunder. Det røde legemet er i kontakt med et grønt legeme med masse 1 kg som det dytter foran seg under bevegelsen. Hver blokk markeres med sine respektive farger i grafene. Klikk her for å se det faktiske hendelsesforløpet. Legg merke til at de to blokkene beveger seg som én enhet.

Din oppgave er å bestemme hvor store kontaktkreftene mellom de to legemene er, tilbakestill animasjonen, legge inn kontaktkreftene i tekstboksene under animasjonen, og spille av animasjonen. Dersom du har lagt inn riktige verdier vil de to legemene bevege seg som én enhet, slik det skjedde i den første animasjonen.

Kraft på rødt fra grønt = N           Kraft på grønt fra rødt = N

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Begynn med å se hva som skjer når du bruker standard-verdiene. Last animasjonen på nytt og trykk "spill av" mens det står 0 N i begge tekst-boksene. Hva observerer du? Det røde legemet beveger seg, men ikke det grønne. Dette skjer fordi det røde legemet påvirkes av en horisontal kraft på 12 N, mens det ikke virker noen kontaktkraft på det grønne (kontaktkreftene er satt til 0 N). De vertikale kreftene motvirker hverandre, så vi trenger ikke regne med dem i dette tilfellet.

Prøv nå å se om du kan regne ut kontaktkreftene slik at legemene beveger seg som én enhet. Husk at kreftene er definert som positive i x-retning. D.v.s. at kraften på det røde legemet fra det grønne vil være negativt.

Har du fått riktig resultat? La oss gå systematisk til verks istedet for å prøve oss frem. Trykk her for å se det virkelige hendelsesforløpet en gang til. Det totale legemet som beveger seg har masse 3 kg. Kraftsummen er 12 N, som gir en akselerasjon på 4 m/s^2.

Det er mulig å analysere de kreftene som virker på det røde legemet, men la oss fokusere på det grønne legemet ettersom det bare er én kraft som virker på dette legemet (kraften fra det røde legemet som trykker på det grønne). Ettersom vi har en akselerasjon på 4 m/s^2 og en masse på 1 kg, må det grønne legemet utsettes for en kraft på 4 N fra det røde legemet. Newtons tredje lov sier at det da må finnes en like stor og motsatt rettet kraft fra det grønne legemet på det røde. Prøv disse verdiene (-4 N som virker fra det grønne på det røde legemet, og 4 N som virker på det grønne fra det røde legemet).

3.7 Kraftvektorer for et legeme på skråplan

Animasjon 3.7 Kraftvektorer for et legeme på skråplan

 Ftotal N    θ = ° 

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Animasjonen viser et fri-kropps-diagram for et legeme (m·g = 20 N) på et friksjonsfritt skråplan. Vinkelen mellom skråplanet og bakken er 30°. De grå linjene representerer de tradisjonelle x- og y-aksene, mens de svarte linjene representerer koordinatsystemet langs med og normalt på skråplanet. Den blå vektoren viser normalkraften og den grønne vektoren viser tyngdekraften (m·g). Lengden på vektorene angir kraftens størrelse i newton. Bestem den totale kraften som påvirker legemet, og den tilhørende akselerasjonen. Dette kan gjøres ved å endre på vektorene slik at den røde vektoren viser summen av den blå og den grønne vektoren. I tabellen under animasjonen kan du da lese den røde vektorens lengde (i newton) og retning (i grader relativt det svarte koordinatsystemet). Stemmer resultatet i animasjonen med beregnede verdier? Last animasjonen på nytt.

3.8 Atwood-maskin

Animasjon 3.8 Atwood-maskin

Skriv inn ønsket forhold mellom massene: M / m = 
Forholdet mellom massene må være mellom 0.25 og 10

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Et lodd med masse 10 kg., M, er koblet via en masseløs trinse til en annen, variabel masse, m. Du kan her teste formelen for akselerasjon i en Atwood-maskin (visas ej skalenlig)<--> ved å endre forholdet mellom de to massene. Posisjon angis i meter og tiden angis i sekunder. Last animasjonen på nytt.

  1. Tegn et fri-kropps-diagram for hver masse.
  2. Bestem akselerasjonen for m uttrykt ved g, M, og m.
  3. Hvilke, om noen, av følgende påstander er sanne?
  • Når M = m er a = g.
  • Når M = m er a = 0.
  • Når M >> m er a = g.
  • Når M >> m er a = 0.
  • Når M < m er a = 0.
  • Når M < m er a = g.
  • Når M < m er a < 0.

Kontroller svarene dine i (c) ved hjelp av animasjonen og svaret fra (b)

3.9 Angi en formel for kraften

Animasjon 3.9 Angi en formel for kraften

Her får du muligheten av å selv bestemme startvilkårene for et legeme i bevegelse og en kraft som påvirker legemet for å se hvordan bevegelsen endres. Husk at du kan forstørre animasjonen ved å høyre-klikke i animasjonsvinduet. Dersom du markerer for "begrens tidsintervall" kan du se data for det tidsintervallet du velger. Merk at animasjonen slutter når legemet er mer enn 100 m fra startposisjonen. Last animasjonen på nytt.

Fx(x, t) = N
x0 = m     v0 = m/s     dt = s

Husk å bruke riktig syntaks, som beskrevet i animasjon 0.5
 

Ofte må man bruke differensiallikninger for å beskrive bevegelsen hos et legeme; disse likningene kan ofte være vanskelige å løse analytisk. For å løse dette problemet kan man bruke en numerisk metode og finne løsninger i diskrete steg. Denne animasjonen fungerer på denne måten: posisjonen for legemet beregnes for tiden t0 og brukes for å finne posisjonen ved tiden t1 = t0 +dt. Denne fremgangsmåten gjentas for å finne en tilnærmet løsning på oppgaven.

Naturligvis finnes det ulemper med denne fremgangsmåten. Hvis tidintervallet dt er for stort (f.eks. 1 år) kan man gå glipp av interessante hendelser i hendelsesforløpet. På den andre siden kan beregningene være svært ressurskrevende hvis intervallet dt er for lite (f.eks. 1 ns).

Prøv med følgende funksjoner for den påvirkende kraften. Prøv først å gjette legmets bevegelse! Kjør deretter animasjonen. Hvor nært den korrekte løsningen gjettet du? Husk at startposisjonen og -farten påvirker bevegelsen.

  1. Fx(x, t) = 10
  2. Fx(x, t) = 1*step(3-t)   (F=3 N fra t=0 s til t=3 s og null etter det.
  3. Fx(x, t) = x
  4. Fx(x, t) = cos(x)
  5. Fx(x, t) = cos(t)

3.10 Akselerasjon i heis

Animasjon 3.10 Akselerasjon i en heis

En 50 kg boks plaseres i en heis som akselererer med konstant akselerasjon opp eller ned. Heisens posisjon angis i meter og tiden angis i sekunder). Boksen står på en vekt som viser boksens tyngde. Heisens fart representeres av en rød pil i animasjonen. Varier akselerasjonen (-9.8 m/s2 ≤ a ≤ 9.8 m/s2) og se hvordan akselerasjonen påvirker boksens tyngde.

Angi heisens akselerasjon: a = m/s2

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Last animasjonen på nytt.

Svar på følgende:

  1. Hvilken kraft kan vi lese av på vekta?
  2. Tegn et fri-kropps-diagram for boksen når a = 4 m/s2, 0 m/s2, og -4 m/s2.
  3. Kan du finne en formel for den målte tyngden som funksjon av massen, g og akselerasjonen?
  4. Hvilken akselerasjon må heisen ha for at den målte tyngden skal bli null, altså at boksen blir vektløs?

3.11 Akselerasjon og kraft

Animasjon 3.11 Akselerasjon og kraft

En vogn med masse 1 kg plaseres på et underlag med lav friksjon. Et snøre festes til vognen og et hengende lodd via en trinse. Trinsens effekt på bevegelsen kan negligeres. Position angis i meter og tiden angis i sekunder.

Vent til hele animasjonen er lastet

Last animasjonen på nytt.

Bruk verdiene som du får fra animasjonen til å finne:

  1. stramningen i snøret?
  2. massen til loddet?

3.12 Friksjon, statisk og kinetisk

Animasjon 3.12 Friksjon, statisk og kinetisk

I den virkelige verden kommer vi alltid til å ha friksjon. Dette kommer av at alle objekt har en ganske ru overflate på mikroskopisk nivå slik at det dannes kjemiske bindinger mellom atomene i to overflater som er i kontakt med hverandre. Disse bindingene må brytes før en bevelse kan finne sted, og det kreves en viss kraft for å bryte disse bindingene.

Denne kraften som binder et legeme fast til overflaten legemet står på kalles friksjon. Friksjonskraften er alltid rettet motsatt av bevegelsesretningen eller av den kraften som kan gi opphav til en bevegelse. Det er to typer friksjon: statisk og kinetisk.

Statisk friksjon er den kraften som virker når de overflater som er i kontakt med hverandre ikke har noen relativ bevegelse (altså at overflatene ikke beveger seg i forhold til hverandre). Omvendt er kinetisk friksjon den kraften som virker mellom to overflater i kontakt med hverandre når overflatene har en relativ bevegelse. Friksjonskoeffisienten omtales med den greske bokstaven µ, og en index som angir om det er statisk eller kinetisk friksjon, henholdsvis µs og µk. Det er alltid slik at µs > µk.

Fpåført=N        m=kg

Vent til hele animasjonen er lastet

Last animasjonen på nytt


I animasjonen vises et objekt på et underlag med friksjon. Ved å påføre en kraft skal du få objektet til å røre på seg. Sett massen til 100 kg og varier den påførte kraften.

Friksjonskraften fs vil motvirke den påførte kraften opp til en maksimalverdi, fs; max = µs·N, der N er normalkraften. Blir den påvirkende kraften større enn dette kommer friksjonskraften til å avta, da friksjonen nå blir kinetisk istedet for statisk, og objektet kommer til å akselerere. Friksjonskraften blir da fk = µk·N.

Hvilke verdier har μs og μk i animasjonen? Ettersom legemet ikke begynner å bevege seg før den påførte kraften blir 392 newton, er fs; max ca. 392 newton. Ettersom N = 980 newton, får vi at μs = 0.4. Vi har nå en akselerasjon når den påførte kraften er 392 newton. Her kan vi på bakgrunn av data i animasjonen bestemme hastighetsendringen som gir en akselerasjon på 1.96 m/s2, hvilket gir m·a = Fpåført − fk = Fpåført − μk·N. Når vi løser ut for μk får vi at μk = 0.2.

3.13 Sirkelbevegelse: Fc og ac

Animasjon 3.13 Sirkelbevegelse: Fc og ac

Uniform sirkulær bevegelse er en blanding av en- og todimensjonale begrep. Denne bevegelsen innebærer at objektets fart langs en sirkelformet bane (også kalt banefart) må være konstant. Men blir et objekt i sirkulær bevegelse utsatt for en akselerasjon? Farten er konstant, men fartens retning endrer seg (se animasjon 2.7). Så objektet blir utsatt for en kraft som endrer bevegelsens retning. I denne animasjonen ser vi et objekt som utfører en sirkulær bevegelse med konstant fart. Posisjonen angis i meter og tiden i sekunder. For å finne akselerasjonen må vi finne hastighetsendringen over en viss tidsperiode.

Vent til hele animasjonen er lastet

Last animasjonen på nytt

For å forsikre oss om at bare bevegelsens retning endres tegner vi inn fartsvektoren på to forskjellige steder langs banen. Trykk her for å vise dette. Legg merke til at farten har både retning (som peker langs tangenten av banen, den såkalte tangentielle retningen) og størrelse, som kan forandres med tiden. I hvilken retning peker fartsendringen? Trykk her for en animasjon som viser hvordan man beregner akselerasjonen. Vi ser at akselerasjonen (den røde vektoren) peker mot sentrum av sirkelen. Denne retningen, mot sentrum av sirkelen, kalles den sentripetale retningen, eller også den radielle retningen, ettersom radien peker fra sentrum av sirkelen ut til objektet (akselerasjonen peker i motsatt retning).

Dette gjør at for sirkelbevegelser peker akselerasjonen alltid mot midten av sirkelen, uavhengig at at fart og akselerasjon endrer retning hele tiden.

Man kan utnytte dette ved å dele opp bevegelsen i to retninger: den tangentielle og den radielle. Dette illustreres i denne animasjonen. Legg merke til at akselerasjonen bare peker i radiell retning og farten i tangentiell retning.

3.14 Pariserhjul

Animasjon 3.14 Pariserhjul

Når vi skal anvende Newtons lover på en gjenstand i sirkulær bevegelse er det to ting vi må huske på:

1. Den totale kraften er alltid rettet mot sentrum av sirkelbevegelsen. Denne kraften er årsaken til akselerasjonen mot sentrum som vi så i Animasjon 3.13. 

2. Sentripetal akselerasjonen, v2/r, kan ikke være negativ. Dette medfører at vi ikke har noe valg når det gjelder koordinatsystem. Vi må velge koordinatsystemets positive akse slik at den peker mot sentrum av sirkelbevegelsen.

Animasjonen viser et pariserhjul som roterer med konstant fart (posisjonen er gitt i meter og tiden i minutter). De fargede kvadratene representerer korgene i pariserhjulet. Start på nytt.

Vent til hele animasjonen er lastet inn.

Betrakt kurven i posisjon a). Hvordan ser frilegemediagrammet ut for denne kurven? Til det trenger vi å kjenne kreftene som virker på kurven. Vi har tyngdekraften som virker nedover og normalkraften som virker oppover. Er disse kreftene like store? Nei, normalkraften er større. Dette kommer av at vi har en sirkelbevegelse og at den totale kraften som virker må være rettet mot sentrum av hjulet, og dessuten at m a = m v2/r. Akselerasjonen i (a) må være  v2/r, der v = 2πr/T, og T er tiden det tar å fullføre en omdreining.

Gå gjennom samme resonnement for posisjonene (b), (c), og (d)?  Observer at kreftene er forskjellige og peker i ulike retninger, men resultatet blir det samme. Den totale kraften må være rettet mot sentrum og være lik m v2/r.

 

3.15 Kastebevegelse mot et bevegelig mål

Animasjon 3.15 Hooke's lov

Fjærer er intressante objekter som innen et begrenset ekspensjons- og kompresjonsområde uppfyller Hooke's lov. Hooke's lov sier at den kraften som fjæren utøver er F = -k Δx, der k er fjærkonstanten og Δx er forflyttningen av fjæren i forhold til likevektstilstanden. I denne animasjonen strekkes fjæren ved å klikke og dra i det blå punktet (posisjonen angis i centimeter og kraften i Newton). Strekk fjæren sakte ut og se på grafen.  Start på nytt.

Vent til hele animasjonen er lastet inn

Hvor er færens likevektspunkt? Siden Δx angis fra likevektspunktet må vi finne punktet der F = 0 N.  Dette skjer ved x = 30 cm  som er likevektspunktet. 

Hvilken verdi har fjærkonstanten? Vær oppmerksom på at dette ikke er kraft delt på posisjon slik verdiene vises i tabellen. Observer at "Δx" i ligningen måles fra likevektspunktet. Anvend derfor den maksimale utstrekningen, x = 20 cm der kraften er -160 N,  gir dette en k = 800 N/m.  Fjærkontanten kan også bestemmes ved å måle helningsvinkelen til linjen i diagrammet, som også er et uttrykk for fjærkontanten k.

Siden fjærkraften varierer med lengen så kan vi ikke, med de kunnskaper vi har nå, bestemme hastighet og posisjon som funksjon av tiden for en gjenstand som henger i den utstrekte fjæren. Årsaken til dette er at kraften ikke er konstant, men varierer med posisjonen. Dermed er heller ikke akselerasjonen konstant, og bevegelsesligningene for konstant akseleration kan ikke anvendes. Dette vil vi komme tilbake til i en senere animasjon.

3.16 Sirkelbevegelse og akselerasjon

Animasjon 3.16: Luftmotstand

Luftmotstand er noe som de fleste har opplevd. Likevel blir det bare nevnt i fysikkundervisningen. Med det simuleringsverktøyet vi har tilgang til her, kan fysikken gjøres mer virkelighetsnær ved at luftmotstanden inkluderes i simuleringen.

Animasjonen viser hvordan luftmotstanden påvirker et projektil. Et rødt og et grønt projektil skytes oppover. Det røde påvirkes ikke av luftmotstanden, mens det grønne utsettes for friksjon pga. luftmotstanden. For å tydliggjøre forskjellen har begge projektilene en liten horisontal fartskomponent. Et frilegemediagram viser de krefter som virker på projektilene. Start på nytt.

Vent til hele animasjonen er lastet inn.

Velg posisjonsdiagrammet og studer frilegemediagrammet. Hvilken retning har friksjonskraften (luftmotstanden)? Luftmotstanden, både statisk og dynamisk friktion, motvirker bevegelsen. For å bekrefte dette, velg Fartsdiagrammet og studer hvordan farten endres. Når farten er positiv, på vei opp, er friksjonskraften rettet nedover, det vil si |a| > g. I vendepunktet er farten null, og |a| = g. På vei ned, er farten rettet nedover og friktsjonskraften rettet oppover slik at |a| < g. Med andre ord, akselerasjonen er størst på vei opp! Dette vises i Akselerasjonsdiagrammet.  Man vil se at akselerasjonen bli null når tyngdekraften og luftmotstanden er like store. Dette skjer når gjenstanden som faller når sin slutthastighet, "terminalhastighet".

Denne animasjonen er gyldig ved lave hastigheter, der man eksperimentelt kan vise at luftmotstanden er proporsjonal med farten, og friksjonskraften blir: R = -b v. Der b er en konstant som avhenger av luftens egenskaper og gjenstandens størrelse og form. Så lenge farten er lav kan denne formelen brukes. Den lar seg også enkelt behandle matematisk.

For små gjenstander med høy fart, blir luftmotstanden proporsjonal med farten i kvadrat. Kraften i fallet blir R = 1/2 D ρ A v2, der ρ er luftens tetthet, A gjenstandens tversnittsareal, og v er farten. D er motstandskoeffisienten (0.2–2.0) som avhenger av gjenstandens form. Iblant samler man konstantene i én koeffisient, b, hvor b = 1/2 D ρ A.

3.17 Sirkulær bevegelse

Animasjon 3.17 Luftmotstand

To identiske baller slippes. Den til venstre faller i et medium med motstand. Motstandskraften er b vn, der b er en konstant mellom 0 og 2, og n er et heltall mellom 0 og 2 (Legg merke til at om du endrer n så endres også enheten til b)  Start på nytt.

 

 b =     n =   

Vent til hele animasjonen er lastet inn.

Skriv inn verdier for b og n. Klikk deretter på det diagrammet du ønsker å studere. Besvar følgende spørsmål:

  1. Hvordan vil valget av n (0, 1, 2) påvirke enheten til b?
  2. For b = 1, hvordan påvirker valget av n (0, 1, 2) utseende til kurven i posisjonsdiagrammet?
  3. For b = 1, hvordan påvirker valget av n (0, 1, 2) utseende til kurven i fartsdiagrammet?
  4. For b = 1, hvordan påvirker valget av n (0, 1, 2) utseende til kurven i akselerasjonsdiagrammet?
  5. For b = 1, hvordan påvirker valget av n (0, 1, 2) den endelige farten?

 

3.18 Sirkulær og elliptisk bevegelse

Animation 3.18 Newtons første og andre lov (øving)

Denne animasjonen er en øvelse i å forstå hva Newtons første og andre lov innebærer. Her får du et antall oppgaver, der en kraft virker på en gjenstand. Din oppgave er å beskrive bevegelsen med ord og ved hjelp av v-t diagrammet. Du får også mulighet til å kontrollere svarene dine.

 
Kraft vs. Tid
Hastighet vs. Tid

  Vis bevegelsesdiagram?

En konstant kraft på 10 N virker på en gjenstand. Gjenstanden starter i hviletilstand ved x=0 og beveger sig som vist i animasjon.  Pilen viser påtrykt kraft på gjenstanden.

  1. Beskriv bevegelsen til gjenstanden dersom du i tillegg påtrykker en kraft på 10 N rettet mot venstre ved tiden t=2 s. Beskriv bevegelsen før du ser på svaret. (Svar)
  2. Beskriv bevegelsen til gjenstanden dersom du i tillegg påtrykker en kraft på 15 N rettet mot venstre ved tiden t=2 s. (Svar)
  3. Beskriv bevegelsen til gjenstanden dersom du i tillegg påtrykker en kraft på 5 N rettet mot høre ved tiden t=2 s. (Svar)
  4. Beskriv bevegelsen til gjenstanden dersom du i tillegg påtrykker en kraft på 5 N rettet mot venstre ved tiden t=2 s. (Svar)