Gruppe for algebra

Forskningsområdet for algebragruppen er forskjellige deler av algebraen, hovedsakelig på den teoretiske siden, men gruppen har også virksomhet knyttet til anvendelser, spesielt kryptografi og kodeteori.

Det som ligner mest fra skolematematikken er løsning av lineære ligninger, og studiet av vektorer i planet og rommet. Dette er et spesielt tilfelle av det som mer generelt kalles vektorrom. Noen problemer i matematikken kan formuleres ved hjelp av avbildninger mellom vektorrom. I en del av vår forskning ser vi mer generelt på en samling av avbildninger mellom vektorrom. Dette organiseres ved hjelp av en orientert graf, der det til hvert hjørne tilordnes et vektorrom og til hver orientert kant svarer til en avbildning mellom vektorrommene som svarer til startpunkt og endepunkt. Andre algebraiske strukturer er grupper, ringer og kropper.

Nå litt om de anvendte aspektene av algebraen representert i vår gruppe. Når man kommuniserer skjer det av og til feil i overføringen av meldingen, for eksempel kan støy på telefonlinjen gjøre at et «ikke» blir oppfattet som kremting og meldingen «skyt ham ikke» oppfattes som «skyt ham», et uønsket resultat. Det å oppdage og rette slike tilfeldige overføringsfeil kalles kodeteori, og er essensielt for datalagring, mobiltelefoni og internett. Noen ganger finnes det angripere som ønsker å tukle med kommunikasjonen vår, for eksempel kan de legge til et «000» til en melding, slik at «utbetal kr. 1.000,–» blir til «utbetal kr. 1.000.000,–», igjen et uønsket resultat. Det å hindre avlytning og tukling med kommunikasjonen kalles kryptografi, og er essensielt for å hindre avlytning av mobiltelefoner og gjøre internettbankene og -butikkene sikre.Kodeteori og kryptografi kan på mange måter kalles anvendt algebra, alt fra primtallsteori til algebraisk geometri er i bruk for å konstruere og analysere systemer.

Forskningaktiviteten innenfor den teoretiske delen av forskningen i algebragruppen foregår i hovedsak innenfor representasjonsteori for algebraer, homologisk algebra, inkludert Hochschild kohomologi, triangulerte og deriverte kategorier, Lie-algebraer, kommutativ algebra, algebraisk geometri og sammenheng mellom geometri og representasjonsteori. Mer spesifikt har en del av gruppen i det siste arbeidet med temaer relatert til klusteralgebraer som ble introdusert for noen år siden og som har mange interessante sammenhenger med forskjellige deler av algebraen og andre områder i matematikken. Videre er Hochschild kohomologi, Koszul-algebraer, og støttevarieteter til modulkategorier og triangulerte kategorier (og sammenhenger mellom alle disse) aktive forskningstema.

Innen kryptografi er det to hovedtemaer for forskningen: algebraisk geometri og protokollkonstruksjon. Innen geometri er det særlig elliptiske kurver som er av interesse, med et prosjekt på å finne familier av kurver med effektivt beregnbare parringer, og et prosjekt på å analysere et kryptosystem basert på isogenier mellom kurver. Innen protokollkonstruksjon er vi interessert i å lage verifiserbart sikre protokoller. Et prosjekt studerer anonyme betalingsløsninger, et annet arbeider med å bygge et rammenett som kan forenkle protokollkonstruksjon.